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2016考研線性代數(shù)重點(diǎn)之特征值與二次型
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矩陣的特征值與特征向量問(wèn)題以及二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題均是考研數(shù)學(xué)中的重要常考點(diǎn)，為了幫助考生在暑假期間更有效地復(fù)習(xí)這兩個(gè)章節(jié)的知識(shí)，下面特撰寫(xiě)此文來(lái)講解矩陣的特征值與特征向量問(wèn)題以及二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題。
一、矩陣的特征值與特征向量問(wèn)題 矩陣的特征值與特征向量這一章節(jié)的內(nèi)容可以歸結(jié)為三大問(wèn)題： http://photocdn.sohu.com/20150930/mp33966532_1443592253222_2.png http://photocdn.sohu.com/20150930/mp33966532_1443592253222_3.png 二、二次型 二次型這一章節(jié)主要研究?jī)蓚�(gè)方面的問(wèn)題： 1、二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題 二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題與矩陣的對(duì)角化問(wèn)題緊密相連，因此化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題。化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形有兩種方法：一是正交變換法;二是配方法。從歷年考題來(lái)看，利用正交變化法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形是考研線性代數(shù)考查的重要方向，但是其實(shí)質(zhì)就是實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題，也就是說(shuō)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題與實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題是同一問(wèn)題的兩種不同的提法，并且這兩種不同的提法在歷年考研真題的大題中是交替出現(xiàn)的，因此掌握了實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化那么實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題也就迎刃而解了。另外，在沒(méi)有其他要求的情況下，利用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便一些。本章節(jié)的內(nèi)容除了會(huì)以大題的形式出現(xiàn)外，二次型的矩陣表示、二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念、二次型的規(guī)范形和慣性定理也是填空題、選擇題中不可或缺的一部分。 2、二次型的正定性判斷 此處的考點(diǎn)主要出現(xiàn)在填空題或者選擇題中，一般考查的有兩種形式的二次型：一是具體的數(shù)值型二次型;二是抽象的二次型。對(duì)于具體的數(shù)值型二次型來(lái)說(shuō)，一般可通過(guò)判斷其順序主子式是否全部大于零來(lái)判別二次型是否為正定二次型;而抽象的二次型的正定性判斷可以通過(guò)利用其標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形中的系數(shù)是否都大于0，或者特征值是否都大于0等得到證明，當(dāng)然二次型的正定性判斷問(wèn)題的順利解決是建立在熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件的基礎(chǔ)之上的。 |
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1、二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題 二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題與矩陣的對(duì)角化問(wèn)題緊密相連，因此化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題。化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形有兩種方法：一是正交變換法;二是配方法。從歷年考題來(lái)看，利用正交變化法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形是考研線性代數(shù)考查的重要方向，但是其實(shí)質(zhì)就是實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題，也就是說(shuō)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題與實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題是同一問(wèn)題的兩種不同的提法，并且這兩種不同的提法在歷年考研真題的大題中是交替出現(xiàn)的，因此掌握了實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化那么實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題也就迎刃而解了。另外，在沒(méi)有其他要求的情況下，利用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便一些。本章節(jié)的內(nèi)容除了會(huì)以大題的形式出現(xiàn)外，二次型的矩陣表示、二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念、二次型的規(guī)范形和慣性定理也是填空題、選擇題中不可或缺的一部分。 2、二次型的正定性判斷 此處的考點(diǎn)主要出現(xiàn)在填空題或者選擇題中，一般考查的有兩種形式的二次型：一是具體的數(shù)值型二次型;二是抽象的二次型。對(duì)于具體的數(shù)值型二次型來(lái)說(shuō)，一般可通過(guò)判斷其順序主子式是否全部大于零來(lái)判別二次型是否為正定二次型;而抽象的二次型的正定性判斷可以通過(guò)利用其標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形中的系數(shù)是否都大于0，或者特征值是否都大于0等得到證明，當(dāng)然二次型的正定性判斷問(wèn)題的順利解決是建立在熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件的基礎(chǔ)之上的。 |
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1、二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題 二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題與矩陣的對(duì)角化問(wèn)題緊密相連，因此化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題。化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形有兩種方法：一是正交變換法;二是配方法。從歷年考題來(lái)看，利用正交變化法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形是考研線性代數(shù)考查的重要方向，但是其實(shí)質(zhì)就是實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題，也就是說(shuō)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題與實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題是同一問(wèn)題的兩種不同的提法，并且這兩種不同的提法在歷年考研真題的大題中是交替出現(xiàn)的，因此掌握了實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化那么實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題也就迎刃而解了。另外，在沒(méi)有其他要求的情況下，利用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便一些。本章節(jié)的內(nèi)容除了會(huì)以大題的形式出現(xiàn)外，二次型的矩陣表示、二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念、二次型的規(guī)范形和慣性定理也是填空題、選擇題中不可或缺的一部分。 2、二次型的正定性判斷 此處的考點(diǎn)主要出現(xiàn)在填空題或者選擇題中，一般考查的有兩種形式的二次型：一是具體的數(shù)值型二次型;二是抽象的二次型。對(duì)于具體的數(shù)值型二次型來(lái)說(shuō)，一般可通過(guò)判斷其順序主子式是否全部大于零來(lái)判別二次型是否為正定二次型;而抽象的二次型的正定性判斷可以通過(guò)利用其標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形中的系數(shù)是否都大于0，或者特征值是否都大于0等得到證明，當(dāng)然二次型的正定性判斷問(wèn)題的順利解決是建立在熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件的基礎(chǔ)之上的。 |
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1、二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題 二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題與矩陣的對(duì)角化問(wèn)題緊密相連，因此化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題。化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形有兩種方法：一是正交變換法;二是配方法。從歷年考題來(lái)看，利用正交變化法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形是考研線性代數(shù)考查的重要方向，但是其實(shí)質(zhì)就是實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題，也就是說(shuō)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題與實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題是同一問(wèn)題的兩種不同的提法，并且這兩種不同的提法在歷年考研真題的大題中是交替出現(xiàn)的，因此掌握了實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化那么實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題也就迎刃而解了。另外，在沒(méi)有其他要求的情況下，利用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便一些。本章節(jié)的內(nèi)容除了會(huì)以大題的形式出現(xiàn)外，二次型的矩陣表示、二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念、二次型的規(guī)范形和慣性定理也是填空題、選擇題中不可或缺的一部分。 2、二次型的正定性判斷 此處的考點(diǎn)主要出現(xiàn)在填空題或者選擇題中，一般考查的有兩種形式的二次型：一是具體的數(shù)值型二次型;二是抽象的二次型。對(duì)于具體的數(shù)值型二次型來(lái)說(shuō)，一般可通過(guò)判斷其順序主子式是否全部大于零來(lái)判別二次型是否為正定二次型;而抽象的二次型的正定性判斷可以通過(guò)利用其標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形中的系數(shù)是否都大于0，或者特征值是否都大于0等得到證明，當(dāng)然二次型的正定性判斷問(wèn)題的順利解決是建立在熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件的基礎(chǔ)之上的。 |
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